Предел и непрерывность функции




Скачать 55.44 Kb.
НазваниеПредел и непрерывность функции
Дата конвертации22.01.2013
Размер55.44 Kb.
ТипДокументы
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.
С – 8.1. Определение предела функции.


  1. Дана функция . Докажите, что .

  2. Нарисуйте график такой функции f , где , что в точке a функция не имеет предела, но в этой же точке a функция принимает свое наибольшее значение.

  3. Дана функция . Докажите, что .


С – 8.2. Предел функции на бесконечности.


  1. Докажите, что функция бесконечно малая при .

  2. Найдите какой-либо луч , на котором выполняется неравенство .

  3. Постройте график функции , обладающей следующими свойствами: , ; , ; , функция возрастает на .

  4. Приведите примеры функций f, таких, что и выполнены следующие утверждения (если это невозможно, объясните почему):

  1. для любого найдется число , такое, что для всех выполнено неравенство ;

  2. для всех чисел найдется число , такое, что ;

  3. можно выбрать такую последовательность , что и .


С – 8.3. Вычисление предела функции на бесконечности.
1. Вычислите предел:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. .


2. Исходя из определения предела, докажите, что .

3. Приведите пример такой функции , что , а .
С – 8.4. Предел функции в точке.

1. Найдите предел:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

2. Приведите примеры функций и , таких, что выполнены следующие утверждения (если это невозможно, объясните почему):

  1. Не существует и , но существует ;

  2. Существуют и , но не существует .

С – 8.5. Тригонометрические пределы.


  1. при aR ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. .


С – 8.5. Второй замечательный предел и его следствия.

Вычислите предел:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. .


С – 8.6. “Комбинированные” пределы.
1. Вычислите предел:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

2. Приведите примеры функций , таких, что не существует и выполнены следующие утверждения (если привести пример невозможно, объясните почему):

  1. Существует ;

  2. Существует ;

  3. Существует ;

  4. Существует ;

С – 8.7. Односторонние пределы. Асимптоты графика функции.
1. Определите односторонние пределы функции:

  1. при ;

  2. при ;

2.Найдите асимптоты графика функции:

  1. ;

  2. ;

3. Приведите примеры функций, графики которых имеют:

  1. две различные горизонтальные асимптоты;

  2. наклонную и горизонтальную асимптоту;



C-8.8 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших
1. Определите порядок малости бесконечно малой функции относительно бесконечно малой функции , если .

2. Определите порядок бесконечно большой функции по сравнению с бесконечно большой , если х.

3. Вычислите предел, используя замену эквивалентных бесконечно малых

а)

б)

4. Постройте график функции:

C-8.9 Исследование функции на непрерывность

1. Дана функция

a) Исследуйте функцию на непрерывность и постройте её график.

б) Найдите , , .

2. Исходя из определения непрерывности (в терминах «Е-б»), докажите непрерывность функции в точке .

3. Найдите все значения параметра a, такие, что данная функция непрерывна:

C-8.10. Разрывы графиков функций
1. Функция не определена в точке x = 0. Определите значение f(0), такое, что f(x) стала непрерывной при x = 0.

2. Дана функция

найдите все значения k, такие, что функция f непрерывна на R.

3. Две функции f и g таковы, что и f – g непрерывны на R. Будет ли функция f + g непрерывна на R?
C-8.11. Свойства функций непрерывных на отрезке-1. Корни непрерывной функции, промежуточные значения.
1. а) Докажите, что уравнение на промежутке [-3;-2] имеет корень. б*) Найдите значение этого корня с точностью до 0,2.

2. Функция f непрерывна на отрезке [2;5] и принимает на нём только рациональные значения. Найдите и , если .

3. Пусть f – непрерывная на отрезке [0;2] функция, причём f(0) = 0, f(2) = 2. Докажите, что уравнение имеет хотя бы один корень на интервале (0;2).

4. Выясните, существует ли непрерывная на R функция f, не имеющая корней, и такая, что при всех значениях xR выполняется условие

4. Выясните, существует ли непрерывная на R функция f, не имеющая корней, и такая, что при всех всех значениях xR выполняется условие
C-8.12 Свойства функций непрерывных на отрезке-2

1. Приведите пример функции f, определённой на отрезке [-1:1], такой, что f(-1) < 0 , f(1) > 0 , и f не обращается в 0 на этом отрезке.

2. Сколько существует различных непрерывных на R функций, графики которых лежат в объединении прямых y = 1, y = x, y = -x, y = 2x – 2?

3. Функция f непрерывна на интервале и . Докажите, что функция f ограничена на интервале .

4. Известно, что для некоторого числа а и произвольного хR выполнено равенство.

а) Докажите, что функция f периодическая.

б*) Может ли она быть непрерывной на R?

Контрольная работа 8.1 Предел функции

1. Найдите предел:

а)

б)

2. Найдите предел .

3. Для каждого а найдите предел

4. Найдите .

5. В равнобедренном треугольнике ABC длины сторон AB и BC равны 1. Пусть r – радиус вписанной в этот треугольник окружности, а R – радиус описанной около треугольника окружности. Вычислите , где h – высота, проведённая к основанию.

6. Исследуйте функцию на асимптоты:

а)

б)

7. При каких a и b ?

8. Пусть функция f периодическая и . Докажите, что
Контрольная работа 8.2 Непрерывность функции
1. Нарисуйте график функции если известно, что она непрерывна.

2. Найти асимптоты графика функции . Постройте эскиз этого графика.

3. Известно, что функция f непрерывна. Докажите, что непрерывна функция .

4. Обязательно ли функция, заданная на отрезке, является непрерывной на этом промежутке, если её областью значений является отрезок?

5. Пусть x(a) – наименьший положительный корень уравнения для каждого . Постройте график зависимости x = x(a). Существуют ли у функции x(a) точки разрыва?

6. Докажите, что достаточным условием того, что уравнение имеет хотя бы один действительный корень, является выполнение неравенства .

7. Пусть функция f непрерывна на [0;1], причём для любого . Докажите, что для любого .

Похожие:

Предел и непрерывность функции iconКонтрольная работа. Раздел «Предел и непрерывность функции действительной переменной»
Тематика и примеры контрольных заданий и вопросов (контрольная работа, индивидуальные типовые расчеты, коллоквиумы)
Предел и непрерывность функции iconВопросы к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции»
Определение монотонной последовательности. Теорема о существовании предела у монотонной последовательности
Предел и непрерывность функции iconВопросы для срезовых работ по математике для студентов на базе 11 кл. Тема 1 Предел функции (8т+4пр)
Прямая у=кх+в называется асимптотой графика функции f(x) при х⟶∞ тогда и только тогда, когда существуют пределы
Предел и непрерывность функции iconЛекция Предел функции
Рассмотрим функцию и точку такую, что. В частности, точка может быть внутренней точкой для e
Предел и непрерывность функции iconВопросы для текущего контроля и подготовки к зачету и экзамену
Непрерывность функции нескольких переменных. Свойства функций нескольких переменных, непрерывных в точке
Предел и непрерывность функции iconПрограмма по функциональному анализу механики, 2008г
Линейные пространства, линейная зависимость, размерность, норма, непрерывность, открытые и замкнутые множества, непрерывность нормы,...
Предел и непрерывность функции icon52. Условие существования конечного предела для функции от натурального аргумента
Само определение предела для этой цели служить не может, ибо в нем фигурирует уже тот предел, о существовании которого
Предел и непрерывность функции iconНужны ли струнам кварки ?
Есть ли предел элементарности частиц? Ответ на этот вопрос в свете положения о неисчерпаемости однозначен – нет. Предел элементарности...
Предел и непрерывность функции iconЮ. А. Разинов с улыбкой авгура или трансгрессия пол маской
«сам себе предел». По определению Фуко, «трансгрессия — это жест, который обращен на предел Направление этого жеста определено желанием...
Предел и непрерывность функции iconПредел функции Пусть функция определена на множестве. Определение
Определение. Точка – называется предельной точкой множества или точкой сгущения множества, если в любой окрестности существует точка...
Разместите кнопку на своём сайте:
kk.convdocs.org



База данных защищена авторским правом ©kk.convdocs.org 2012-2019
обратиться к администрации
kk.convdocs.org
Главная страница