Предел и непрерывность функции
Скачать 55.44 Kb.
|
| ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. С – 8.1. Определение предела функции.
С – 8.2. Предел функции на бесконечности.
С – 8.3. Вычисление предела функции на бесконечности. 1. Вычислите предел:
2. Исходя из определения предела, докажите, что  .3. Приведите пример такой функции  , что  , а  .С – 8.4. Предел функции в точке. 1. Найдите предел:
2. Приведите примеры функций и  , таких, что выполнены следующие утверждения (если это невозможно, объясните почему):
С – 8.5. Тригонометрические пределы.
С – 8.5. Второй замечательный предел и его следствия. Вычислите предел:
С – 8.6. “Комбинированные” пределы. 1. Вычислите предел:
2. Приведите примеры функций , таких, что не существует  и выполнены следующие утверждения (если привести пример невозможно, объясните почему):
С – 8.7. Односторонние пределы. Асимптоты графика функции. 1. Определите односторонние пределы функции:
2.Найдите асимптоты графика функции:
3. Приведите примеры функций, графики которых имеют:
C-8.8 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших 1. Определите порядок малости бесконечно малой функции  относительно бесконечно малой функции  , если  .2. Определите порядок бесконечно большой функции  по сравнению с бесконечно большой  , если х.3. Вычислите предел, используя замену эквивалентных бесконечно малых а)  б)  4. Постройте график функции:  C-8.9 Исследование функции на непрерывность 1. Дана функция  a) Исследуйте функцию на непрерывность и постройте её график. б) Найдите  ,  ,  .2. Исходя из определения непрерывности (в терминах «Е-б»), докажите непрерывность функции  в точке  .3. Найдите все значения параметра a, такие, что данная функция непрерывна:  C-8.10. Разрывы графиков функций 1. Функция  не определена в точке x = 0. Определите значение f(0), такое, что f(x) стала непрерывной при x = 0.2. Дана функция  найдите все значения k, такие, что функция f непрерывна на R. 3. Две функции f и g таковы, что  и f – g непрерывны на R. Будет ли функция f + g непрерывна на R?C-8.11. Свойства функций непрерывных на отрезке-1. Корни непрерывной функции, промежуточные значения. 1. а) Докажите, что уравнение  на промежутке [-3;-2] имеет корень. б*) Найдите значение этого корня с точностью до 0,2.2. Функция f непрерывна на отрезке [2;5] и принимает на нём только рациональные значения. Найдите  и  , если  .3. Пусть f – непрерывная на отрезке [0;2] функция, причём f(0) = 0, f(2) = 2. Докажите, что уравнение  имеет хотя бы один корень на интервале (0;2).4. Выясните, существует ли непрерывная на R функция f, не имеющая корней, и такая, что при всех значениях xR выполняется условие  4. Выясните, существует ли непрерывная на R функция f, не имеющая корней, и такая, что при всех всех значениях xR выполняется условие  C-8.12 Свойства функций непрерывных на отрезке-2 1. Приведите пример функции f, определённой на отрезке [-1:1], такой, что f(-1) < 0 , f(1) > 0 , и f не обращается в 0 на этом отрезке. 2. Сколько существует различных непрерывных на R функций, графики которых лежат в объединении прямых y = 1, y = x, y = -x, y = 2x – 2? 3. Функция f непрерывна на интервале  и  . Докажите, что функция f ограничена на интервале .4. Известно, что для некоторого числа а и произвольного хR выполнено равенство  .а) Докажите, что функция f периодическая. б*) Может ли она быть непрерывной на R? Контрольная работа 8.1 Предел функции 1. Найдите предел: а)  б)  2. Найдите предел  .3. Для каждого а найдите предел  4. Найдите  .5. В равнобедренном треугольнике ABC длины сторон AB и BC равны 1. Пусть r – радиус вписанной в этот треугольник окружности, а R – радиус описанной около треугольника окружности. Вычислите  , где h – высота, проведённая к основанию.6. Исследуйте функцию на асимптоты: а)  б)  7. При каких a и b  ?8. Пусть функция f периодическая и  . Докажите, что  Контрольная работа 8.2 Непрерывность функции 1. Нарисуйте график функции  если известно, что она непрерывна.2. Найти асимптоты графика функции  . Постройте эскиз этого графика.3. Известно, что функция f непрерывна. Докажите, что непрерывна функция  .4. Обязательно ли функция, заданная на отрезке, является непрерывной на этом промежутке, если её областью значений является отрезок? 5. Пусть x(a) – наименьший положительный корень уравнения  для каждого  . Постройте график зависимости x = x(a). Существуют ли у функции x(a) точки разрыва? 6. Докажите, что достаточным условием того, что уравнение  имеет хотя бы один действительный корень, является выполнение неравенства  .7. Пусть функция f непрерывна на [0;1], причём  для любого  . Докажите, что  для любого  . |
. Докажите, что 
.
, что в точке a функция не имеет предела, но в этой же точке a функция принимает свое наибольшее значение.
. Докажите, что 
.
бесконечно малая при 
.
, на котором выполняется неравенство 
.
, обладающей следующими свойствами: 
, 
; 
, 
; 
, функция возрастает на 
.
и выполнены следующие утверждения (если это невозможно, объясните почему):
найдется число 
, такое, что для всех 
выполнено неравенство 
;
найдется число 
, такое, что 
;
, что 
и 
.
;
;
;
;
.
;
;
;
;
и 
, но существует 
; 
, но не существует 
.
при aR ;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
;
;
при 
;
при 
;
;
;Похожие:
 | Контрольная работа. Раздел «Предел и непрерывность функции действительной переменной» Тематика и примеры контрольных заданий и вопросов (контрольная работа, индивидуальные типовые расчеты, коллоквиумы) | | Вопросы к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Определение монотонной последовательности. Теорема о существовании предела у монотонной последовательности |
 | Вопросы для срезовых работ по математике для студентов на базе 11 кл. Тема 1 Предел функции (8т+4пр) Прямая у=кх+в называется асимптотой графика функции f(x) при х⟶∞ тогда и только тогда, когда существуют пределы | | Лекция Предел функции Рассмотрим функцию и точку такую, что. В частности, точка может быть внутренней точкой для e |
| Вопросы для текущего контроля и подготовки к зачету и экзамену Непрерывность функции нескольких переменных. Свойства функций нескольких переменных, непрерывных в точке | | Программа по функциональному анализу механики, 2008г Линейные пространства, линейная зависимость, размерность, норма, непрерывность, открытые и замкнутые множества, непрерывность нормы,... |
 | 52. Условие существования конечного предела для функции от натурального аргумента Само определение предела для этой цели служить не может, ибо в нем фигурирует уже тот предел, о существовании которого | | Нужны ли струнам кварки ? Есть ли предел элементарности частиц? Ответ на этот вопрос в свете положения о неисчерпаемости однозначен – нет. Предел элементарности... |
| Ю. А. Разинов с улыбкой авгура или трансгрессия пол маской «сам себе предел». По определению Фуко, «трансгрессия — это жест, который обращен на предел Направление этого жеста определено желанием... | | Предел функции Пусть функция определена на множестве. Определение Определение. Точка – называется предельной точкой множества или точкой сгущения множества, если в любой окрестности существует точка... |