Учебное пособие для подготовки к егэ авторы: М. В. Белова, С. С. Антипина. Издание подготовлено под научным руководством




Скачать 122.22 Kb.
НазваниеУчебное пособие для подготовки к егэ авторы: М. В. Белова, С. С. Антипина. Издание подготовлено под научным руководством
Дата конвертации27.04.2013
Размер122.22 Kb.
ТипУчебное пособие

Кушва

«Школа №6»

2012

1-е издание

Вспомогательное учебное пособие для подготовки к ЕГЭ


Авторы: М. В. Белова, С. С. Антипина.

Издание подготовлено под научным руководством И. Б. Минибаевой

Справочник по планиметрии: Вспомогательное учебное пособие для подготовки к ЕГЭ / М. В. Белова, С. С. Антипина – 1-е изд. – К.: Школа №6, 2012. – 14 с.

Учебное пособие

Мария Викторовна Белова

Светлана Сергеевна Антипина
Справочник по планиметрии,

Вспомогательное учебное пособие для подготовки к ЕГЭ

Зав. редакцией М. В. Белова. Редактор И. Б. Минибаева. Художественное оформление С. С. Антипина.

Издательство «Школа №6», 2012

Прямая

Свойства прямой в евклидовой геометрии:

  • Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

  • Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными.

  • В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

  • прямые пересекаются;

  • прямые параллельны;

  • прямые скрещиваются.

  • Общее уравнение прямой (полное): Ах+Ву+С=0


Виды прямых:

  1. Параллельные прямые50095864.jpg

a AB

pic1.gif

  1. Пересекающиеся прямые

ABCD


a
Скрещивающиеся прямые images_thumb.jpg img56.gif



Виды углов между прямыми:angels-adjoin.png

  • Смежные

vertical_angles-281x170.png



  • Вертикальные



  • Односторонние

  • Накрест лежащие

  • Соответственные

Треугольники

Первый признак равенства треугольников

Второй признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников










картинка 19 из 230

картинка 16 из 176

картинка 17 из 162

urok04_ill029.gif


медиана

биссектриса

высота

картинка 5 из 1036

http://im4-tub-ru.yandex.net/i?id=325205758-31-72

http://im8-tub-ru.yandex.net/i?id=403046554-44-72










Отношения высот и сторон треугольника:



Свойство прямоугольного треугольника: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

  2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

  3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

  4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

A

C

B

Прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. .



Решение прямоугольного треугольника:

a=c sin α b=c sin α

a=b tg α b=a ctg α



Теорема:

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.



Теорема косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.



Теорему косинусов иногда называют обобщенной теоремой Пифагора.

Теорема тангенсов (формулы Региомонтана):

0014-014-jolochka-iz-treugolnikov.jpg

Решение произвольного треугольника:







Вписанный и описанный треугольникdolphin_triangle_mesh.png

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.


Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.


Теорема:

В любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну.


Теорема:

Около любого треугольника можно описать окружность, притом только одну.








Формулы, связывающие окружность и правильный многоугольник

N

R

An

rn

3

R3=2r3


a3=R√3

r3=a3√3:6

4

R4=a4:√2

a4=2r4

a4=R√2

r4=a4:2

6

a6=R6

r6=2r6:√3

a6=R6

r6=a6√3:2

r6=R6√3:2

Sn

S3=a²√3:4

S4=a²

S6=3a²√3:2


Площадь треугольника



Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.



Площадь прямоугольного треугольника:



Площадь равностороннего треугольника:urok04_ill026.gif







Подобие треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Теорема:

Если два угла одного треугольника соответственно равны углам другого, то такие треугольники подобны.


Теорема:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.


Теорема:

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.


картинка 6 из 56


картинка 2 из 35


картинка 1 из 30


, k – коэффициент подобия, который равен отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.http://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=19333166-02-72



Четырёхугольники

Параллелограмм

ABDC; AD BC

a и b — смежные стороны;α — угол между ними; — высота, проведенная к стороне a.

S = a

S = ab sin α

S = sin α



Прямоугольник

А=В=С=D=90urok04_ill030.gif

S = ab

S = sinα

Ромб

AB=BC=CD=AD

S = a

S = sinα

S =

Квадрат

А=В=С=D=90; AB=BC=CD=AD

d — диагональ.

S =

S =

Трапеция

a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия.

S = lh





l = (a+b)/2

Произвольный выпуклый четырехугольник

d1, d2 — диагонали; α— угол между ними; S — площадь.

S = sin α

Вписанный и описанный четырехугольник

Вписанный четырехугольник

Свойства:cir312_2a.gif

  1. Вписанный четырёхугольник всегда является выпуклым.

  2. Вокруг выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°.

  3. Можно описать окружность вокруг:

  • любого прямоугольника (частный случай квадрат)

  • любой равнобедренной трапеции

  1. У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон:

|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|urok04_ill032.gif

Описанный четырехугольник

Свойства:

  1. Описанный простой четырёхугольник должен быть выпуклым.описанный-четырехугольник.jpg

  2. В выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны:

AB + CD = BC + AD.

  1. Во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения противоположных сторон четырёхугольника. Эта прямая называется прямой Гаусса. Центр вписанной в четырёхугольник окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).

Окружностькартинка 73 из 560

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.





Центр описанной окружности для остроугольного треугольника лежит внутри треугольника, для прямоугольного треугольника на середине гипотенузы, для тупоугольного треугольника – вне этого треугольника.

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Формула для вычисления угла правильного многоугольника:



Теорема:

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Длина окружности:http://im8-tub-ru.yandex.net/i?id=376461327-34-72



Длина дуги окружности:



Площадь круга:



Площадь кругового сектора:



Уравнение окружности:urok04_ill031.gif



Уравнение окружности, с центром (0;0):



Площадь кругового кольца:

,

где R,r – внешний и внутренний радиусы, D, d – внешний и внутренний диаметры, - средний радиус, k – ширина кольца.

Вектора

  1. Сложение векторов:

  1. Правило треугольника:


При помощи правила треугольника можно сложить два параллельных вектора



Правило треугольника можно применять при сложении трех и более векторов.

  1. Правило параллелограмма:




  1. Вычитание векторов:

  1. Правило треугольника:




  1. Правило параллелограмма:








  1. Умножение вектора на скаляр:

  1. скаляр




  1. скаляр


  1. Произведение векторов:

  1. Скалярное:

При скалярном умножении векторов получается такой скаляр с, что , где α – угол между векторами .

  1. Векторное:

При векторном произведении векторов получается такой вектор , что его модуль равен , где – угол между векторами.

  1. Координаты вектора:

Есть вектора a. Пусть A (x; y) – начло вектора, а A` (x`; y`) – конец вектора. Координатами вектора a называются числа a1=x-x`, a2=y-y`. Для обозначения того, что вектор a имеет координаты a1 и a2, используют запись (a1; a2) или .

Абсолютная величина вектора (a1; a2) равна

Если начало вектора совпадает с его концом, то это нулевой вектор, обозначается ().

Расстояние между двумя точками:

Теорема: Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.
7325031-geometric-shapes-chain-with-shadows-abstract-art-illustration.jpg

Оглавление

  1. Прямая……………………………………………………………………………………………. 3

  2. Треугольники…………………………………………………………………………………….. 4

  1. Прямоугольный треугольник…………………………………………………………. 5

  2. Вписанный и описанный треугольник………………………………………………. 6

  3. Формулы, связывающие окружность и правильный многоугольник…………… –

  4. Площадь треугольника…………………………………………………………………. 7

  5. Подобие треугольников………………………………………………………………… –

  1. Четырёхугольники……………………………………………………………………....….…… 8

  1. Вписанный и описанный четырёхугольник ………………………………………….9

  1. Окружность……………………………………………………………………………….…..….10

  2. Вектора……………………………………………………………………………………………11



Справочник по планиметрии

Вспомогательное учебное пособие для подготовки к ЕГЭ










Похожие:

Учебное пособие для подготовки к егэ авторы: М. В. Белова, С. С. Антипина. Издание подготовлено под научным руководством iconУчебное пособие для студентов педагогических вузов. Спб., 2001. 144 с. Предлагаемое издание представляет собой учебное пособие к курсу «Основы экс­курсионного дела»
Издание осуществлено при спонсорской поддержке компании "Кока-Кола Боттлерс Евразия "
Учебное пособие для подготовки к егэ авторы: М. В. Белова, С. С. Антипина. Издание подготовлено под научным руководством iconЖариков в. Д. Кривенцева м. К. Жариков р. В
Учебное пособие предназначено для магистров дневного и заочного отделений экономических специальностей. Данное учебное пособие может...
Учебное пособие для подготовки к егэ авторы: М. В. Белова, С. С. Антипина. Издание подготовлено под научным руководством iconУчебное пособие для подготовки к экзамену предисловие учебное пособие предназначено для студентов медицинских вузов
Прежде всего, оно будет полезным при подготовке к экзамену по нормальной анатомии
Учебное пособие для подготовки к егэ авторы: М. В. Белова, С. С. Антипина. Издание подготовлено под научным руководством iconУчебное пособие для вузов Под редакцией А. Л. Журавлева Москва 2002 уд к 159. 9 Ббк88 с 69
Данное учебное пособие есть краткое изложение курса «Соци-альная психология» для студентов факультетов психологии классических, социальных...
Учебное пособие для подготовки к егэ авторы: М. В. Белова, С. С. Антипина. Издание подготовлено под научным руководством iconУчебное пособие Бийск Издательство Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова 2007 удк 66. 012. 34
Учебное пособие предназначено для студентов специальности 240701 «Химическая технология органических соединений азота» иявляется...
Учебное пособие для подготовки к егэ авторы: М. В. Белова, С. С. Антипина. Издание подготовлено под научным руководством iconУчебное пособие для студентов биологических специальностей вузов Тетрадь студента (ки) курса
Тетрадь по курсу «Теория эволюции» Учебное пособие для студентов биологических специальностей педагогических вузов. Авторы-составители:...
Учебное пособие для подготовки к егэ авторы: М. В. Белова, С. С. Антипина. Издание подготовлено под научным руководством iconУчебное пособие для магистрантов и студентов гуманитарных специальностей Павлодар
Учебное пособие предназначено для студентов и магистрантов, обучающихся по специальности «Культурология». Написанное на конкретном...
Учебное пособие для подготовки к егэ авторы: М. В. Белова, С. С. Антипина. Издание подготовлено под научным руководством iconУчебное пособие гродно, 2003 удк 616. 8 (075. 8) A 187 ббк 56. 12
Данное учебное пособие полностью соответствует квалификационной характеристике и учебному плану подготовки медицинских сестер с высшим...
Учебное пособие для подготовки к егэ авторы: М. В. Белова, С. С. Антипина. Издание подготовлено под научным руководством iconУчебное пособие для вузов / Под ред. Ю. М. Жукова. М.: Аспект Пресс, 2004. с. 48-68
Липатов С. А. Методы практической социальной психологии: Диагностика. Консультирование. Тренинг: Учебное пособие для вузов / Под...
Учебное пособие для подготовки к егэ авторы: М. В. Белова, С. С. Антипина. Издание подготовлено под научным руководством iconАвторы: педагог – психолог, педагог дополнительного образования Белова Екатерина Андреевна, воспитатель детского сада Белова Ольга Николаевна. Полное название образовательного учреждения
Авторы: педагог – психолог, педагог дополнительного образования Белова Екатерина Андреевна, воспитатель детского сада Белова Ольга...
Разместите кнопку на своём сайте:
kk.convdocs.org



База данных защищена авторским правом ©kk.convdocs.org 2012-2017
обратиться к администрации
kk.convdocs.org
Главная страница