Операторлық есептеу




НазваниеОператорлық есептеу
страница4/6
Дата конвертации21.12.2012
Размер0.79 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6
Дербес жағдайда
  • (10)

    (11)
    Мұндағы ω-кез-келген комплекс сан.
    3 мысал
    функциясының бейнесін табу керек.
    Шешуі
    болғандықтан, функциясының өсу көрсеткіші

    Берілген функцияның Лаплас түрлендіруін табайық

    Егер болса, онда

    теңсіздігі алынады.

    (Мұнда )

    Сонда егер болса, онда аламыз.

    Сондықтан

    4 мысал
    f(t)=cost функциясының бейнесін табу керек.
    Шешуі
    |cost |1 болғандықтан cost функциясының өсу көрсеткіші с=0.

    Бұл функцияның Лаплас түрлендіруін жазамыз:


    Жақшаның ішіндегі функцияның шегі жоғарыда көрсетілгендей нолге ұмтылады. Сондықтан

    1.3 Меллин формуласы
    Берілген бейнесінен оған сәйкес түпнұсқасына көшу үшін Лапластың кері түрлендіруі орындалады.
    Теорема 1.3
    Түпнұсқа үздіксіздік нүктелерінде

    теңдігімен анықталады.

    Мұндағы функциясы түпнұсқасының Лаплас бойынша бейнесі. (14) теңдіктің оң жағындағы интеграл бас мәні ұғымында анықталады. Басқаша айтқанда

    арақатынасы орындалады да, интеграл жарты жазықтығында жатқан және жорымал оське параллель түзу бойынша алынады.

    (14) формула Меллиннің кері айналдыру формуласы деп аталады. Ол бейнесі мен түпнұсқасын байланыстырады.

    Берілген бейнесі бойынша түпнұсқаны табу Лапластың кері түрлендіруі болып табылады. Оны былай белгілейді:


    Мұндағы шарты болғанда функцияның шартын қанағаттандыратынын көрсетеді.

    (14) формула бейнені тек үздіксіздік нүктелерінде ғана анықтайды. Бірақта түпнұсқаның бірінші текті үзіліс нүктелері болуы мүмкін.

    Бұл жағдайда түпнұсқаның үзіліс нүктелерінде


    шарты орындалатындығын көрсетуге болады.

    Сонымен, айналдыру формуласы бейнесі бойынша түпнұсқасы оның үзіліс нүктелеріндегі мәндеріне дейінгі дәлдікпен анықталады. Түпнұсқаға (1.1) формула бойынша анықталған бір ғана бейне сәйкес келеді. Өйткені түпнұсқаның үзіліс нүктелеріндегі мәндері бейненің түрін өзгертпейді. Дегенмен де бір бейнеге бір-бірінен айырмашылығы үзіліс нүктелеріндегі мәндерінде болатын түпнұсқалар жиынын сәйкес қоюға болады.

    Егер түпнұсқасы аралығында дифференциалданатын функция болса, онда берілген бейне бойынша бір ғана түпнұсқа анықталады.



      1. Есептер


    1. Мына функциялардың қайсысы түпнұсқа болатындығын тексеру керек






    2. Мына функциялардың түпнұсқа болатындығын тексеріп, өсу көрсеткішін табу керек.


    3. Лаплас интегралын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.


    Жауаптары
    1. а) иә; б) иә; в) жоқ; г) иә; д) иә; е) жоқ; ж) жоқ; з) иә; и) жоқ; к) иә.

    2. а) иә, 3; б) жоқ; в) иә, 0; г) иә, 0; д) иә, 0; е) иә, 0; ж) жоқ.






    2 Лаплас түрлендіруінің қасиеттері
    Теорема 2.1 Түрлендірудің сызықтылығы
    Егер функциялары түпнұсқалар, ал олардың бейнелері тиісінше және шамалары t-мен р-ға тәуелсіз болса, онда мына арақатынастар орындалады:
    (17)
    Шынында да, (1.1) формулаға сәйкес

    Егер интегралы функциялары үшін жарты жазықтығында жинақталса, онда интегралы жарты жазықтығында жинақталады.
    5 мысал
    функцияларының бейнесін табу керек.

    Мұндағы ω-нақты немесе комплекс сан.
    Шешуі
    Комплекс айнымалының функциясының теориясынан белгілі формулаларды жазайық:

    Бейненің сызықтылығын және (9) формуласын пайдаланып керекті сәйкестіктерді аламыз.


    6 мысал
    функцияларының бейнесін табу керек.

    Мұндағы ω, φ-кез-келген нақты немесе комплекс сандар.
    Шешуі
    Белгілі формулаларды жазайық:

    Бейненің сызықтылығын және (18), (19) формулаларды пайдаланып мына сәйкестіктерді аламыз:


    Теорема 2.2 Түпнұсқаны дифференциалдау
    Егер өсу көрсеткіші болатын функциясы мен оның туындысы түпнұсқалар, ал функциясы түпнұсқасының бейнесі болса, онда мынадай сәйкестік орындалады:

    Дербес жағдайда, егер болса, онда
    (25)
    Дәлелдеу үшін интегралын бөліктеп интегралдаймыз:


    Ал болғандықтан


    бағалауын аламыз.

    Сондықтан болады да сәйкестігін аламыз.

    Бұл қасиетті жалпылауға болады.

    Егер өсу көрсеткіші болатын туындылары түпнұсқа болса, онда мынадай сәйкестіктер алуға болады:
    (26)
    Дербес жағдайда, егер болса, онда
    (27)
    7 мысал
    функциясының бейнесін табу керек.
    Шешуі
    болсын дейік. Сонда

    Бірақ болғандықтан



    Сонымен

    Осыдан аламыз.

    Осы нәтижені теңдігі арқылы да алуға болады.



    Теорема 2.3 Түпнұсқаны интегралдау
    Егер -түпнұсқа, ал оның бейнесі болса, онда

    Дәлелдеу үшін деп белгілейік те, түпнұсқаны дифференциалдау теоремасын пайдаланайық. Сонда алынады.

    Егер сәйкестігін белгілесек деп жазуға болады. Мұнда екендігі ескерілген. Ал болғандықтан сәйкестігі шығады. Осыдан яғни
    (29)
    8 мысал
    функциясының бейнесін табу керек.
    Шешуі
    (9) формуланы пайдаланамыз

    Түпнұсқаны интегралдау формуласы бойынша берілген функцияның бейнесін табамыз.



    Теорема 2.4 Ұқсастық теоремасы
    Егер -түпнұсқа, ал оның бейнесі болса, онда

    Мұндағы α-кез-келген сан. Шынында да анықтама бойынша

    Интегралды ауыстыруын қолданып түрлендіреміз. Сонда мынадай нәтиже аламыз:

    9 мысал
    функцияларының бейнелерін табу керек.
    Шешуі
    Ұқсастық теоремасын, яғни (30) формуланы пайдаланып, берілген функциялардың бейнелерін табамыз:


    Терема 2.5 Кешеуілдеу теоремасы
    Егер және -түпнұсқа болса, онда

    Дәлелдеу
    Мына интегралында ауыстыруын қолданып түрлендіреміз. Сонда

    Мұнда болғанда болғандықтан теңдігі орындалады.

    Осыдан шығады да, теорема дәлелденеді.

    “Кешеуілдеу” терминінің мағынасына тоқталайық.




    0 t 0 (τ,0) t


    2.1 сурет 2.2 сурет

    2.1 суретте функциясының графигі. Ал 2.2 суретте функциясының графигі. функциясының графигіне қарағанда t осінің оң бағыты бойынша τ шамасына жылжытылған. Осыдан функциясымен сипатталатын құбылыс функциясымен сипатталатын құбылысқа қарағанда τ уақытқа кештеу басталатындығы көрінеді.

    10 мысал




    1
    t

    0 τ

    2.3 сурет

    Суретте берілгендей бірлік баспалдақты функцияның бейнесін табу керек. Ол үшін жоғарыда алынған сәйкестігін пайдаланып

    нәтижесін аламыз.

    Осы нәтижені пайдаланып мына
    болса,
    функциясының бейнесін табайық.

    Есептің шешуін функциясын тұтас аналитикалық өрнек арқылы жазып аламыз:


    11 мысал
    τ уақыт аралығында әсер ететін бірлік әсер күшінің бейнесін табу керек.

    болса.



    1

    t

    0 (τ,0)

    2.4 сурет.

    Шешуі
    бірлік әсер күшін Хевисайдтың екі бірлік функцияларының айырмасы ретінде қарастыруға болады, яғни

    Сызықтылық қасиеті мен кешеуілдеу теоремасын пайдаланып берілген функцияның бейнесін табамыз.

    12 мысал
    Периодты функцияның бейнесі айталық, түпнұсқаның периоды Т болсын.

    Осы функциясының бейнесін табу керек.
    Шешуі
    Анықтама бойынша

    Егер формуласы бойынша t айнымалысын ауыстыратын болсақ, онда мынадай теңдік аламыз:

    Ал функциясының периоды Т болғандықтан Сондықтан , немесе

    13 мысал





    0 t

    π 2 π

    2.5 сурет

    Графигі 2.5 суретте берілген функцияның бейнесін табу керек. (суреттегі функцияның графигі түзетілген айнымалы токты бейнелейді)
    Шешуі
    (32) формула бойынша былай жазуға болады:



    Теорема 2.6 Ығысу теоремасы
    Егер



    Мұндағы λ-кез-келген комплекс сан. Шынында да, негізгі формула бойынша:



    14 мысал
    Ығысу теоремасын 18-23 формулаларға қолданып мына формулаларды алуға болады:


    (37)

    (38)

    (39)

    15 мысал

    Берілген функциясының бейнесін табу керек.
    Шешуі
    Функциялардың көбейтіндісін қосынды түрінде жазайық:

    Жоғарыдағы (19) формуланы ескере отырып, сызықтылық қасиеті және ығысу теоремасы бойынша шарты орындалуымен қатар мынадай нәтиже аламыз:


    Теорема 2.7 Бейнені дифференциалдау
    Егер -түпнұсқа, ал оның бейнесі болса, онда


    Дәлелдеу
    Лаплас интегралын р параметрі бойынша дифференциалдайық:


    Теореманы біртіндеп дифференциалдау амалына қолданып, жалпы түрдегі формуланы аламыз:

    16 мысал

    Бейнені дифференциалдау теоремасын пайдаланып, бірнеше функциялардың бейнесін анықтайық.

    формуласын пайдаланып мына сәйкестікті аламыз:

    Теореманы n рет пайдаланып, мына формуланы аламыз:

    Осыны және ығысу теоремасын пайдаланып мына сәйкестікті аламыз:


    Алғашқы 18-21 формулаларды пайдаланып мынадай бейнелер аламыз:



    Теорема 2.8 Бейнені интегралдау
    Егер -түпнұсқа болса, онда

    сәйкестігі орындалады.
    Дәлелдеу
    белгілеуін еңгізіп формуласына бейнені дифференциалдау туралы теореманы қолданамыз. Сонда



    Бірақ болғандықтан, теңдігі алынады.

    Осы арақатынасын р-дан В-ға дейін интегралдап мынаны аламыз:


    Ал Ф(р) түпнұсқаның бейнесі болғандықтан орындалады.

    Сондықтан

    бейнесі алынады.

    17 мысал
    функциясының бейнесін табу керек.

    Шешуі

    Белгілі сәйкестігін аламыз да осыған (49) формуланы қолданамыз:

    Сонымен, мынадай сәйкестік алынады:

    Анықтама

    Мына түріндегі интеграл және функцияларының орамы деп аталады.

    Ол былай белгіленеді:

    Сондықтан

    Бұл өрнек және функцияларының алыну ретіне байланысты емес, яғни мына теңдік әрқашан да орындалатынын дәлелдеуге болады.

    Теорема 2.9 Бейнелерді көбейту
    Егер және түпнұсқалар болса, онда

    немесе

    Орамның Лаплас түрлендіруін қарастырайық:


    Бұл интегралды екі еселі интеграл деп қарастырайық.
    τ
    τ=t
    0 t

    2.5 Сурет

    Интегралдау ретін ауыстырып, мынадай өрнек аламыз:


    Екінші интегралда ауыстыруын қолданып мынадай теңдік аламыз:

    18 мысал
    функциясының түпнұсқасын табу керек.
    Шешуі
    болғандықтан, (53) формула бойынша берілген бейнеге сәйкес түпнұсқаны табамыз:


    19 мысал

    функциясының түпнұсқасын табу керек.
    Шешуі
    болғандықтан



      1. Дюамель формуласы


    (Дюамель (1797-1872)-француз математигі).
    Егер және -түпнұсқалар және болса, онда мына теңдік орындалады:

    Бұл Дюамель формуласы деп аталады.
    Дәлелдеу
    көбейтіндісін мына түрде жазайық:

    Бұл теңдіктің оң жағындағы екінші қосылғыш және түпнұсқаларының бейнелерінің көбейтіндісін береді. Олай болса, осы теңдікке бейнелерді көбейту теоремасын қолданайық:

    Осыны ашып жазатын болсақ, (54) формула алынады.

      1. Жалпы формулалар


    Мұнда функцияларының өсу көрсеткіші, ал λ-нақты немесе комплекс сан.




    -түпнұсқа

    бейнесі



    -түпнұсқа

    бейнесі

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1








    10






    2






    11





    3





    және




    12





    4








    13







    5







    14







    6







    15






    7







    16






    8







    17







    9


















    Түпнұсқа мен бейнелер кестесі




    -түпнұсқа

    бейнесі



    -түпнұсқа

    бейнесі




    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1






    16







    2






    17






    3






    18







    4





    19





    5






    20





    6







    21





    7








    22





    8








    23





    9








    24





    1

    2

    3

    4

    5

    6

    10







    25






    11







    26






    12







    27






    13







    28





    14







    29







    15







    30









      1. Есептер


    4. Ұқсастық теоремасын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.

    5. Сызықтылық және ұқсастық теоремаларын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.



    6. Сызықтылық және ығысу теоремасын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.

    7. Түпнұсқаны дифференциалдау теоремасын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.

    8. Түпнұсқаны интегралдау теоремасын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.

    9. Бейнені дифференциалдау теоремасын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.

    10. Бейнені интегралдау теоремасын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.



    11. Кешеуілдеу теоремасын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.

    12. Мына график түрінде берілген функциялардың бейнесін табу керек.

    а) б)

    1

    1

    t t

    0 1 0 1 2

    в) г)
    1

    a

    t

    0 1 2 t

    0 а

    -1

    13. Бейнелерді көбейту теоремасын пайдаланып мына бейнелерге сәйкес түпнұсқаны табу керек.


    14. Көбейту теоремасын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.

    Мына функциялардың бейнелерін табу керек.


    Мына периодты функциялардың бейнесін (32) формула көмегімен табу керек.







    Жауаптары




















    3 Бейне бойынша түпнұсқаны анықтау
    Берілген бейнесіне сәйкес түпнұсқасын Лапластың кері түрлендіруі арқылы табуға болатындығын жоғарыда келтірдік:

    Осы (55) кері айналдыру формуласы түпнұсқаның үздіксіздік нүктелерінде бейне мен түпнұсқа арасында бірмәнді сәйкестік орнатады. Бұл формуланы тікелей қолдану әрқашанда қиындық туғызады.

    Сондықтан әдетте Меллин формуласының салдары болып табылатын жіктеу теоремаларын пайдаланады.

    3.1 Бірінші жіктеу теоремасы
    Егер шексіз алыстағы нүктенің маңайында аналитикалық функция болып сол нүктедегі мәні нөлге тең болса және осы нүкте маңайындағы Лоран қатарына жіктелуі

    түрінде болса, онда бейнесінің түпнұсқасы мына функция болады:

    Егер болса, онда болады.

    20 мысал
    функциясының түпнұсқасын табу керек.
    Шешуі
    Берілген функциясының нүктесінің маңайындағы жіктелуі


    Сондықтан бірінші жіктеу теоремасына сәйкес функциясының түпнұсқасы функциясы болады.
    3.2 Берілген бейнесі бойынша түпнұсқаны табудың қарапайым әдісі
    Көп жағдайларда берілген бейнесі бойынша түпнұсқаны табу үшін бейнені түрлендіріп, содан кейін Лаплас түрлендіруінің қасиеттерін және бейнелер кестесін пайдаланады.

    Ал бейнені түрлендіру үшін көбінесе рационал бөлшектерді жай бөлшектерге жіктеу әдісі қолданылады.
    21 мысал
    Берілген


    бейнесіне сәйкес түпнұсқаны табу керек.
    Шешуі

    Бірінші әдіс
    Бөлшектің бөліміндегі үшмүшеліктің толық квадратын бөліп шығарып ығысу теоремасын және бейнелер кестесін пайдаланамыз



    Сонымен,
    Екінші әдіс
    Берілген бөлшекті жай бөлшектер қосындысына жіктейміз


    22 мысал

    функциясының түпнұсқасын табу керек.
    Шешуі

    Бірінші әдіс
    Бөлшекті жай бөлшектер қосындысына жіктейміз


    Екінші әдіс
    Бөлшекті мына түрде жазайық:


    Сонда бейнені дифференциалдау теоремасы бойынша

    Енді түпнұсқаны интегралдау теоремасын пайдаланып мынадай нәтиже аламыз:


    Үшінші әдіс
    Функциялардың орамының бейнесі туралы теореманы қолданайық




      1. Екінші жіктеу теоремасы


    Егер бейнесі бірмәнді функция болып және жазықтықтың бөлігінде жатқан саны шектеулі ерекше нүктелері болса, онда шегермелер туралы теореманы пайдаланып былай жазуға болады:

    Мұндағы функциясының полюстері. бейнесі болғанда аналитикалық функция болғандықтан, көрсетілген полюстер жорымал оске параллель және одан қашықтығында өтетін түзуден солға қарай орналасқан. Егер болса, онда деп алу керек.

    функциясы рационал функция болған жағдайды қарастырайық, яғни

    Мұнда және коэффициенттері нақты сандар.

    Бөлімінің түбірлерін есептеп, бөлшекті мына түрде жазамыз:

    Мұндағы түбірінің еселігі және

    Түрлендірілген (59) бейненің түпнұсқасын табу үшін (58) формуланы пайдаланамыз. Полюс бойынша шегермені есептеу формуласын қолданып болғанда мынадай формула аламыз:

    Дербес жағдайда, егер бейнесінің бөлімінің түбірлері жай түбірлер болса, онда болады да, бірінші ретті жай полюс бойынша шегермені есептеу формуласын пайдаланамыз:

    23 мысал

    бейнесіне сәйкес түпнұсқаны табу керек.
    Шешуі

    Бейненің екінші ретті бір ғана полюсі бар.

    (60) формулада деп алып керекті түпнұсқаны табамыз



    24 мысал
    бейнесіне сәйкес түпнұсқаны табу керек.
    Шешуі

    (61) формуланы пайдаланамыз.

    Берілген бейнеден екендігі көрінеді. Осыдан

    Ал көпмүшелігінің түбірлері:

    Сонда

    Сондықтан



    25 мысал
    бейнесінің түпнұсқасын табу керек.
    Шешуі
    Бейненің полюстері екінші ретті (60) формуланы пайдаланамыз.


    3.4 Есептер
    44. Екінші жіктеу теоремасын пайдаланып мына бейнелерге сәйкес түпнұсқаны табу керек.


    45. Бірінші жіктеу теоремасын пайдаланып мына функциялардың түпнұсқасын табу керек.


    46. Мына функциялардың түпнұсқасын табу керек.



    Жауаптары





  • 1   2   3   4   5   6

    Похожие:

    Операторлық есептеу icon«Шапшаң есептеу тәсілдері»
    Ауызша есептеу дағдылары математикалық білімнің маңызды элементі болып табылады. Соңғы жылдардағы компьютер, калькулятордың өмірге...
    Операторлық есептеу iconСӨЖ тапсырмасы және оның орындалу кестесі
    Жоғарғы ретті анықтауыштарды есептеу жолдары. Матрицаның рангісін есептеу әдістері
    Операторлық есептеу iconБАҒдарламасы
    Жазықтықтағы аналитикалық геометрияның қарапайым есептері. Екі нүктенің арақашықтығын есептеу. Кесіндіні берілген қатынаста бөлу....
    Операторлық есептеу iconЖалпы индекстерді есептеу
    Сонымен өнімнің жалпы мөлшерін есептеу үшін бағаны немесе өзіндік құнды негіз етіп алып, барлық көрсеткіштер бір өлшем бірлігіне...
    Операторлық есептеу iconРеспубликанский нормативный документ
    Дістемелік нұСҚау елді мекендердің су бұру жүйесіне ағызылатын өндірістік сарқынды судағы зиянды заттардың шекті жол берілген шоғырлануын...
    Операторлық есептеу icon5B070400 есептеу техникасы және бағдарламалық Қамтамасыз ету бітірушіге «5B070400 Есептеу техникасы мен бағдарламалық қамтамасыз ету»
    Бітірушіге «5B070400 Есептеу техникасы мен бағдарламалық қамтамасыз ету» мамандығы бойынша техника және технологиялар бакалавры академиялық...
    Операторлық есептеу iconРеферат тақырыбы: Қазақстандағы жалпы ұлттық өнім және оны есептеу әдістері. Дайындаған: Тексерген
    Осыған сәйкес міндеті. Аталған тақырыпшалардың әрқайсысына жеке тоқталып, ашатындай толық түсіндіру. Ол үшін Қазақстандағы жалпы...
    Операторлық есептеу iconАкционерлік қоғамдар акционерлеріне акциялары бойынша дивидендтерді есептеу мен төлеу мәселелері жөнінде қысқаша жадынама Акционерлік қоғамдардың акционерлеріне акциялары бойынша дивидендтерді есептеу мен төлеу тәртібі «Акционерлік қоғамдар
    Акционерлік қоғамдардың акционерлеріне акциялары бойынша дивидендтерді есептеу мен төлеу тәртібі «Акционерлік қоғамдар туралы» Қазақстан...
    Операторлық есептеу icon«Ақпараттық – есептеу орталығы» Республикалық Мемлекеттік кәсіпорыны «Қазақстан Республикасы статистикасы Ақпараттық – есептеу орталығы» Республикалық мемлекеттік кәсіпорын
    Республикасы Статистика агенттігіне есеп береді. Мемлекеттік кәсіпорын ретінде аео қызметі шаруашылықты жүргізу құқығын жүзеге асырады....
    Операторлық есептеу iconЕсептеу құралы iстен шыққан жағдайда есептеу құралдарының орташа айлық көрсеткiштерi бойынша ұсынылып отырған реттелiп көрсетiлетiн коммуналдық қызметтер (тауарлар, жұмыстар) үшiн ақы өндiрiп алу ережесiн бекiту туралы
    Азақстан Республикасы Табиғи монополияларды реттеу агенттiгi Төрағасының 2005 жылғы 27 желтоқсандағы n 373-НҚ Бұйрығы. Қазақстан...
    Разместите кнопку на своём сайте:
    kk.convdocs.org



    База данных защищена авторским правом ©kk.convdocs.org 2012-2017
    обратиться к администрации
    kk.convdocs.org
    Главная страница