Операторлық есептеу




НазваниеОператорлық есептеу
страница5/6
Дата конвертации21.12.2012
Размер0.79 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6
4 Операторлық есептеудің қолданылулары


4.1 Коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеулерді операторлық әдіспен шешу
Коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық
x(n)(t)+x(n-1)(t)+…+x/(t)+x(t)=f(t) (62)
теңдеуінің алғашқы шарттарды қанағаттандыратын шешуін табу керек болсын.

Мұндағы -тұрақты сандар, ал -алғашқы берілген мәндер.

Түпнұсқа болатын f(t) үздіксіз функция.

Белгісіз х(t) функциясы мен оның туындылары да үздіксіз болсын деп ұйғарайық. Берілген (62) теңдеудің шешуін табу үшін теңдіктің екі жағын да -ға көбейтіп 0 мен арасында t бойынша интегралдаймыз.


(63)
Осыны туындының бейнесі туралы теореманы қолданып былай жазуға болады.
(64)
Мұндағы X(р)=х(t), F(р)=f(t)

Бұл теңдеу операторлық теңдеу деп аталады Оны түрлендіріп мына түрде жазайық.

(рn+рn-1+…+р+)X(р)=х0(рn-1+pn-2+…+p+)+

1(pn-2+..++3p+)+a0 хn-1+F(р)

Осыдан
(65)

Мұндағы А(р)=рn+рn-1+…+p+an,

В(р)=х0(рn-1+pn-2+…+p+)+

+x1(рn-2+pn-3+…+p+)+

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

+хn-1

Осы (65) формула арқылы анықталған X(p) функциясы (62) теңдеудің шешуі болады. Егер алғашқы шарттар барлығы нөлге тең болса, онда мынадай шешу аламыз
(66)
Дербес х(t) шешуін табу үшін X(p) бейнесіне сәйкес түпнұсқаны табу керек. Егер x0, х1, …, хn-1 алғашқы мәндері берілмеген кезкелген сандар болса, онда X(t) (62) теңдеудің дербес шешуі емес, оның жалпы шешуі болады.
26 мысал

х//(t)-2х/(t)+x(t)=4 теңдеуінің х(0)=4, х/(0)=2 шарттарын қанағаттандыратын дербес шешуін табу керек.


              1. Шешуі


Дербес шешуді х(t) деп белгілеп, Х(р)=x(t) деп алайық. Сонда операторлық теңдеудің түрі мынадай болады:

немесе



Осыдан

аламыз.
Бұл рационал бөлшекті жай бөлшектерге жіктеп түпнұсқаны табамыз

және

27 мысал
Оң жағы үзілісті болатын сызықтық теңдеуді қарастырайық.

х//(t)+x(t)=f(t) дифференциалдық теңдеуінің x(0)=х/(0)=0 алғашқы шарттарын қанағаттандыратын шешуін табу керек. Теңдеудің оң жағындағы f(t) функциясының графигі 4.1 суретте берілген.

f(t)


t

0 π

4.1 сурет
Шешуі
Түпнұсқа болатын f(t) функциясын Хевисайдтың бірлік функциясы арқылы өрнектеуге болады.



Ал болғандықтан

сәйкестігін аламыз

Сонда операторлық теңдеудің түрі мынадай болады:



Осыдан бейнесін аламыз.

Енді х(t)-ні табу үшін бөлшекті жіктейміз


Сондықтан оған сәйкес түпнұсқа

болады.

Кешеуілдеу теоремасын пайдаланып

сәйкестігін жазуға болады.

Сонымен, х(t) шешуінің түрі мынадай:

немесе
болса.
Табылған шешімді t=π нүктесінде зерттейік. Ол үшін х(t) функциясын дефференциалдайық

болса

болса

Осы x(t), x/ (t), x//(t)өрнектерінен мынаны аламыз.




Сондықтан

яғни

x(t) функциясы t= нүктесінде үздіксіз.

Осы сияқты





яғни

.
Осыдан x/(t) функциясы t= мәнінде үздіксіз екендігі шығады.

Әрі қарай функциясын t= мәнінде зерттейміз.



Сондықтан


яғни x// (t) функциясының t= нүктесінде бірінші текті үзіліс нүктесі бар.

Сонымен оң жағының бірінші текті үзіліс нүктесі бар дифференциалдық теңдеудің x(t) дербес шешуі мен оның бірінші туындысы үздіксіз, ал екінші туындысының бірінші текті үзіліс нүктесі бар.


4.2 Сызықтық дифференциалдық теңдеуді Дюамель интегралын пайдаланып шешу
Берілген
x(n)(t)+x(n-1)(t)+…+x/(t)+x(t)=f(t) (67)
дифференциалдық теңдеуінің алғашқы x(0)=x/(0) = …=x(n-1)(0)=0

шарттарын қанағаттандыратын шешуін табу керек болсын.

Мұндағы - тұрақты сандар, f(t) –түпнұсқа.

Теңдеудің шешуін табу үшін
ω(n)(t)+ω(n-1)(t)+…+ω/(t)+ω(t)=1 (68)
дифференциалдық теңдеуін қарастырайық.

Бұл теңдеудің ω(0)=ω/(0)=…=ω(n-1)(0)=0 алғашқы шарттарын қанағаттандыратын шешуі белгілі болсын дейік және W(p)=ω(t) сәйкестігі орындалсын.

Сонда (69) теңдеудің операторлық түрдегі теңдеуі мынадай болады:
pnW(p)+pn-1W(p)+…+ W(p)+ W(p)=

Осыдан
W(p)= (69)
теңдігі алынады.
Берілген (67) теңдеудің шешуін x(t) деп, ал оның бейнесін X(p) арқылы белгімен F(p)=f(t) деп алайық.

Ал (67) теңдеу үшін операторлық теңдеуді былай жазуға болады:

pnX(p)+pn-1X(p)+…+px(p)+X(p)=F(p).
Осыдан

X(p)= (70)
теңдігі анықталады. Енді (69) және (70) өрнектерді салыстырып мынадай теңдік аламыз:

X(p)=pF(p)W(p)
Алғашқы шарт (0)=0 болғандықтан (54) Дюамель формуласы бойынша x(t) дербес шешуін былай жазуға болады
(71)

немесе

(72)

Функциялардың орамының қасиетін пайдаланып былай да жазуға болады:

(73)
(74)
(71), (72), (73),(74) формулаларымен анықталған х(t) функциясы алғашқы шарттары нөлге тең болатын (67) теңдеудің дербес шешуін береді.
28 мысал
Дюамель формуласының көмегімен

х//(t)-2x/(t)=t2et

теңдеуінің у(0)=у1(0)=0 алғашқы шарттарын қанағаттандыратын шешуін табу керек.
Шешуі

Көмекші дифференциалдық теңдеу құрайық


- алғашқы шарттар.

Бұл теңдеудің шешуі ал оның бейнесі W(p) болсын.

Көмекші дефференциалдық теңдеу үшін операторлық теңдеуді

р2W(р)-2рW(р)= түрінде жазамыз.

Осыдан

теңдеуі щығады.

Оған сәйкес түпнұсқаның түрі


      1. Осыдан


болады.
Сонда (71) формула бойынша берілген дифференциалдық теңдеудің дербес шешуін мына түрде жазамыз:
t>0

4.3 Коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесін операторлық әдіспен шешу
Коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі берілсін
(75)
Осы жүйенің x1(0)=х10, х2(0)=x20, …, хn(0)=хn0 алғашқы шарттарын қанағаттандыратын шешуін табу керек.

Мұндағы акm (қm=1, 2, …, n) – теңдеулер жүйесінің тұрақты коэффициенттері, х10, х20, ..., xnо – берілген алғашқы мәндер, f1(t), f2(t), ..., fn(t), - түпнұсқа болатын берілген нақты айнымалы

t-ның функциялары; х1(t), х2(t), …, хn(t) шешулері және олардың бірінші туындылары да үздіксіз функциялар деп ұйғарайық. Мынадай сәйкестіктер белгілейік:

k=1, 2, …, n.

Жүйенің әрбір теңдеуінің екі жағын да е-pt-ға көбейтіп 0 мен арасында t бойынша интегралдаймыз: Түпнұсқаны дифференциалдау ережесін пайдаланып мынадай жүйе аламыз.

немесе
(76)
Осы (76) жүйе операторлық теңдеулер жүйесі деп аталады.

Оның анықтауышын мына түрде жазамыз.

Мұндағы km(р) анықтауышы – к-ші жатық жол мен m-ші тік жол қиылысында орналасқан элементтің алгебралық толықтауышы. Жүйенің анықтауышы деп ұйғарайық.

Сонда Крамер формулалары бойынша жүйенің шешуін былай жазамыз:
(77)
к=1, 2, …, n

Әрі қарай берілген (75) жүйенің шешуін табу үшін алынған бейнелер бойынша түпнұсқаны табу керек.
29 мысал

x(0)=0, y(0)=3, z(0)=-2,

теңдеулер жүйесін шешу керек.

Белгілеулер енгізейік:

Жүйенің әрбір теңдеуін Лаплас бойынша түрлендіріп мынадай операторлық теңдеулер жүйесін аламыз:

Осы жүйеден Х(р) шешуін табамыз

Алынған бөлшек бейнені жай бөлшектерге жіктейміз

Осы бейнеге сәйкес түпнұсқа

x(t)= et-e3t, (t>0) жүйенің шешуі болады.

Жүйенің басқа шешулерін де осылай табамыз. Ол шешулер мынадай:

y(t)=-2et+2e2t+3e3t (t>0), z(t)=2et-2e2t-2e3t (t>0).


1   2   3   4   5   6

Похожие:

Операторлық есептеу icon«Шапшаң есептеу тәсілдері»
Ауызша есептеу дағдылары математикалық білімнің маңызды элементі болып табылады. Соңғы жылдардағы компьютер, калькулятордың өмірге...
Операторлық есептеу iconСӨЖ тапсырмасы және оның орындалу кестесі
Жоғарғы ретті анықтауыштарды есептеу жолдары. Матрицаның рангісін есептеу әдістері
Операторлық есептеу iconБАҒдарламасы
Жазықтықтағы аналитикалық геометрияның қарапайым есептері. Екі нүктенің арақашықтығын есептеу. Кесіндіні берілген қатынаста бөлу....
Операторлық есептеу iconЖалпы индекстерді есептеу
Сонымен өнімнің жалпы мөлшерін есептеу үшін бағаны немесе өзіндік құнды негіз етіп алып, барлық көрсеткіштер бір өлшем бірлігіне...
Операторлық есептеу iconРеспубликанский нормативный документ
Дістемелік нұСҚау елді мекендердің су бұру жүйесіне ағызылатын өндірістік сарқынды судағы зиянды заттардың шекті жол берілген шоғырлануын...
Операторлық есептеу icon5B070400 есептеу техникасы және бағдарламалық Қамтамасыз ету бітірушіге «5B070400 Есептеу техникасы мен бағдарламалық қамтамасыз ету»
Бітірушіге «5B070400 Есептеу техникасы мен бағдарламалық қамтамасыз ету» мамандығы бойынша техника және технологиялар бакалавры академиялық...
Операторлық есептеу iconРеферат тақырыбы: Қазақстандағы жалпы ұлттық өнім және оны есептеу әдістері. Дайындаған: Тексерген
Осыған сәйкес міндеті. Аталған тақырыпшалардың әрқайсысына жеке тоқталып, ашатындай толық түсіндіру. Ол үшін Қазақстандағы жалпы...
Операторлық есептеу iconАкционерлік қоғамдар акционерлеріне акциялары бойынша дивидендтерді есептеу мен төлеу мәселелері жөнінде қысқаша жадынама Акционерлік қоғамдардың акционерлеріне акциялары бойынша дивидендтерді есептеу мен төлеу тәртібі «Акционерлік қоғамдар
Акционерлік қоғамдардың акционерлеріне акциялары бойынша дивидендтерді есептеу мен төлеу тәртібі «Акционерлік қоғамдар туралы» Қазақстан...
Операторлық есептеу icon«Ақпараттық – есептеу орталығы» Республикалық Мемлекеттік кәсіпорыны «Қазақстан Республикасы статистикасы Ақпараттық – есептеу орталығы» Республикалық мемлекеттік кәсіпорын
Республикасы Статистика агенттігіне есеп береді. Мемлекеттік кәсіпорын ретінде аео қызметі шаруашылықты жүргізу құқығын жүзеге асырады....
Операторлық есептеу iconЕсептеу құралы iстен шыққан жағдайда есептеу құралдарының орташа айлық көрсеткiштерi бойынша ұсынылып отырған реттелiп көрсетiлетiн коммуналдық қызметтер (тауарлар, жұмыстар) үшiн ақы өндiрiп алу ережесiн бекiту туралы
Азақстан Республикасы Табиғи монополияларды реттеу агенттiгi Төрағасының 2005 жылғы 27 желтоқсандағы n 373-НҚ Бұйрығы. Қазақстан...
Разместите кнопку на своём сайте:
kk.convdocs.org



База данных защищена авторским правом ©kk.convdocs.org 2012-2019
обратиться к администрации
kk.convdocs.org
Главная страница