Лекция Аксиоматика теории вероятностей




Скачать 133.37 Kb.
НазваниеЛекция Аксиоматика теории вероятностей
страница1/4
Дата конвертации06.03.2013
Размер133.37 Kb.
ТипЛекция
  1   2   3   4

Лекция 3. Аксиоматика теории вероятностей


  • Сигма-алгебра событий

  • Вероятность как нормированная мера

  • О борелевской сигма-алгебре и мере Лебега

    • Борелевская сигма-алгебра на прямой

    • Мера Лебега


3.1. Сигма-алгебра событий


   Пусть  —  пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (то есть, вообще говоря, множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств , которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определенную только  на множестве событий.

То есть событиями мы будем называть не любые  подмножества , а лишь подмножества из некоторого «множества подмножеств» . При этом необходимо позаботиться, чтобы это множество подмножеств было «замкнуто» относительно введенных в параграфе 1.2 операций над событиями, то есть чтобы объединение, пересечение, дополнение событий (то есть элементов ) снова давало событие (то есть элемент ).

Определение 10.

Множество , состоящее из подмножеств множества (не обязательно всех!) называется -алгеброй событий,  или -алгеброй подмножеств , если выполнены следующие условия:

(A1)

          (-алгебра событий содержит достоверное событие);

(A2)

     если , то      (вместе с любым событием -алгебра содержит противоположное событие);

(A3)

    если , то      (вместе с любым конечным или счетным набором событий -алгебра содержит их объединение).

Условия (A1)-(A3) часто называют «аксиомами -алгебры».

Проверим, что этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества относительно других операций над событиями.

Вместо первой аксиомы достаточно предположить, что не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент.  

 

Свойство 1.

        (-алгебра событий содержит невозможное событие).

Доказательство. По (A1), , но в силу (A2).     Q.D.E.

 

Свойство 2.

При выполнении (A1),(A2) свойство (A3) эквивалентно свойству (A4)

(A4)

    если , то      (вместе с любым конечным или счетным набором событий -алгебра содержит их пересечение).

Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1) и (A2) из (A3) следует (A4).

Если , то при всех по свойству (A2) выполнено . Тогда из (A3) следует, что , и, по (A2), дополнение к этому множеству также принадлежит , то есть . Но, в силу формул двойственности, , что и требовалось доказать.

Доказательство в обратную сторону выглядит совершенно аналогично.

Q.D.E.

Свойство 3.

Если , то .

Доказательство.

 , так как , , и по (A4) их пересечение тоже принадлежит .

Q.D.E.

  Пример 11.

Пусть  —  пространство элементарных исходов (например, при бросании игрального кубика). Следующие наборы подмножеств являются -алгебрами (доказать! ):

1.

   —  тривиальная -алгебра. 

2.

 .

3.

 , где  —  произвольное подмножество (в предыдущем примере ).

4.

   —  множество всех подмножеств .

Доказать, что если  состоит из  элементов, то в множестве всех его подмножеств ровно  элементов.  

Итак, мы определили специальный класс подмножеств пространства элементарных исходов , названный -алгеброй событий, причем применение счетного числа любых операций (таких, как объединение, пересечение, дополнение) к множествам из снова дает множество из (не выводит за рамки этого класса). Множества мы и назвали «событиями».

Определим теперь понятие «вероятности» как функции, определенной на множестве событий (то есть функции, которая каждому событию  ставит в соответствие число). А чтобы читателю сразу стало понятно, о чем пойдет речь, добавим: вероятность мы определим как неотрицательную нормированную меру,  заданную на -алгебре подмножеств .


  1   2   3   4

Похожие:

Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconА. В. Гончар Элементы теории вероятностей
Учебное пособие предназначено для студентов, преимущественно экономических специальностей, изучающих теорию вероятностей в рамках...
Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconЛекция «Теория вероятностей и математическая статистика в строительной акустике»
Мастер-класс профессора И. И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconБизнес-информатики программа дисциплины Вероятностно-статистические методы в теории принятия решений для направления 010500. 68 «Прикладная математика и информатика»
Для качественного освоения дисциплиной студентам необходимо предварительные знания в области теории вероятностей
Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconДо появления теории вероятностей как действительно общепризнанной теории в науке господствовал детерминизм, согласно которому осуществление определённых условий однозначно определяет результат
...
Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconПрограмма вступительных экзаменов
Вероятностное пространство. Аксиомы теории вероятностей. Свойства вероятностной меры
Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconСтатья по теории вероятностей «О сходимости рядов, члены которых определяются случаем»
«Радость математического «открытия» я познал рано, в возрасте пяти-шести лет закономерность
Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconВопросы по курсу теории вероятностей
Вероятностное пространство, события. Алгебры и сигма-алгебры событий. Вероятностные меры и их свойства. Теорема Каратеодори (со схемой...
Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconЗадание по теории вероятностей Это надо переписать
На семи карточках написаны буквы: а, а, о, с, т, т, ч. Какова вероятность того, что при произвольном расположении карточек в ряд...
Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconЭлементы комбинаторики и теории вероятностей
Курс предусматривает различные виды деятельности на занятии: фронтальную работу, работу в малых группах, в парах, беседы, упор делается...
Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconЛекция 1 Введение. Фундаментальные положения теории информации
...
Разместите кнопку на своём сайте:
kk.convdocs.org



База данных защищена авторским правом ©kk.convdocs.org 2012-2019
обратиться к администрации
kk.convdocs.org
Главная страница